数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的斤进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

一、引出

（一）概念

插值法是目前我们一直几个点，找到同时经过这几个点的函数，将这个函数作为插值函数，当我们面对未知点（x,y）时，我们认为点在插值函数上，将x直接代入函数中，获得其y值，这就是插值算法的用处。

1.一般定义

2.插值函数

（二）一般多项式插值定理

对于n+1个互不相同的节点，存在唯一的n次多项式同时经过这n个点，具体的数学证明过程如下：

二、方法

（一）拉格朗日插值法

利用拉格朗日插值多项式进行插值。

（二）牛顿插值

（三）拉格朗日插值VS牛顿插值

与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性（牛顿插值法每次插值只与前n项的值有关，这样每次只要在原来的函数上添加新的项，就能够产生新的函数），但是同样会由于次数过高存在龙格现象。

1.龙格现象

高次插值会产生龙格现象，即在两端处波动极大，产生明显的震荡。在不熟悉曲线运动趋势的前提下，不推荐轻易使用高次插值。

一个减少龙格现象的方法
由于插项多项式的准确度并不会随着次数的增加而持续增大，同时，过高的次数会导致误差增大，如何提升插值的精确度，解决龙格问题——分段插值。

2.另一个问题

拉格朗日插值与牛顿插值相同，其均要求插值多项式在插值节点处于被插函数的值相同，但是不能全面反映被插值函数的性态（例如一阶导/二阶导）

然而在许多实际问题中，不仅要求被插值函数与插值函数在所有节点处的值相同，可能还要求其在所有点中的低阶导甚至高阶导相同。

三、推荐方法

（一）三次埃尔米特插值

1.埃尔米特插值

要求值相同，并且在所有点的一阶导数相同

原理如图：

2.分段三次埃尔米特插值

埃尔米特插值仍然存在龙格现象，我们通过分段来减少龙格现象的发生，一般采用三次埃尔米特插值。

（二）三次样条插值

三次样条插值，要求所有点的值相同，一阶导相同，二阶导也相同，相对来说比起埃尔米特插值，三次样条插值的曲线更加平滑。

四、应用

插值算法可以用于少数数据的填补，短期预测。
但是当样本值过多时，插值算法的函数会比较复杂，而且可能并不能呈现曲线正确的变化状况，因此需要权衡。一般当样本很多时，我们可能会采用拟合的方式，找到函数。